塔斯基的語言階層理論

這篇文章介紹塔斯基（Tarski）設計的一個企圖解決說謊者悖論的理論。


說謊者悖論

其實，說塔斯基試圖解決說謊者悖論是不正確的。塔斯基做的，只是提出一個條件，使得所有符合這個條件的語言都不會導致說謊者悖論。

塔斯基認為，只要一個語言不包含任何自己的真述詞（即，可以描述屬於這個語言的語句為真或為假的述詞），這個語言就不會導致說謊者悖論。塔斯基將滿足這個條件的語言稱為語意上開放的語言（semantically-opened language）。

什麼樣的語言不包含任何自己的真述詞？要造出這樣一個語言很簡單，我們只要把「是真的」、「為真」、「是假的」、「為假」和其他可以直接或者間接描述這個語言中的語句為真或為假的述詞從中文裡給拿掉，我們就可以造出一個新中文。這個新中文和舊中文的差別就在於因為它不具備自己的真述詞，所以它沒有辦法表達像是「『雪是白的』為真」或是「『福爾摩斯的作者是柯南道爾』是真的」這樣的句子，也就是說，它的表達力比舊中文略遜一籌。但是我們的新中文不會有導致說謊者悖論的困擾，因為新中文也沒有辦法表達像是「這個句子不為真」或是「這個句子是假的」這樣的句子，所以我們沒辦法從新中文中造出「這個句子是假的」，然後導出矛盾來。

反過來說，我們的舊中文是具備「是真的」、「為真」、「是假的」、「為假」和其他可以直接或者間接描述這個語言中的語句為真或為假的述詞的。也就是說，我們的舊中文的表達力比新中文強。不過因為舊中文可以表達像是「這個句子是假的」這樣的句子，所以舊中文會導致說謊者悖論。塔斯基把像是舊中文這種，因為具備自己的真述詞而受到說謊者悖論困擾的語言稱為語意上封閉的語言（semantically-closed language）。

塔斯基提出了一個可以幫助我們避開說謊者悖論的提案，但是這並不代表我們就有理由接受他的提案。一個提案是不是值得重視，我們除了檢查它能不能解決應該解決的問題之外，還得評估實行它所造成的不好的後果是不是我們願意承擔的。比方說，以下這個提案也可以使我們的語言不導致說謊者悖論，可是我們一定不會去用它：

把我們的語言裡的字句全部清除，只剩下「桌上有個紅蘋果」這個句子。

語言的價值，就在於它可以協助我們表達我們想要表達的資訊給別人知道。如果一個語言貧乏到只能表達「桌上有個紅蘋果」，比起使用它，我們還寧可使用一個豐富得多而會導致悖論的語言。

塔斯基知道表達力對於語言來說是非常重要的。塔斯基也知道我們在生活中常常會需要用到真述詞來描述語句。爲了避免因為無法使用真述詞而使得我們能夠表達的概念變少，塔斯基提出了對象語言和後設語言的概念。




對象語言和後設語言

假想有一個語言1。除了不包含任何真述詞之外，這個語言1的內容和中文一模一樣。（所以，這個語言1和前面講的「新中文」是一樣的語言）

也就是說，語言1可以表達這些句子：

雪是白的。
桌上有蘋果。

但是語言1不能表達這些句子：

「雪是白的」為真。
「桌上有紅蘋果」不為真。
這個句子不為真。

但是，在一些情況下，我們會需要表達「『雪是白的』為真」和「『桌上有紅蘋果』為不為真」這樣的概念，這個時候語言1的表達力就會明顯不足。而這也是我們現在要解決的問題。
塔斯基解決這個問題的方法是，我們可以建構一個語言2，語言2包含了：

1.所有語言1可以表達的句子
2.「在語言1裡為真」和「在語言1裡不為真」這兩個述詞

這樣的設定使得語言2可以表達這樣的句子：

「雪是白的」在語言1裡為真。
「桌上有紅蘋果」在語言1裡不為真。

在「『雪是白的』在語言1裡為真。」裡，用引號括起來的「雪是白的」是語言2裡的一個詞，它所代表的是語言1裡的一個句子（就是「雪是白的」這個句子）。也就是說，有了語言2之後，我們就可以用語言2裡的詞來提及（mention）語言1裡的句子，並且可以用「在語言1裡為真」和「在語言1裡不為真」這種在目前只有語言2才具備的述詞來談論它們。

當我們使用「『雪是白的』在語言1裡為真」這樣的句子來談論「雪是白的」這樣的句子的時候，我們就說，語言1是語言2的對象語言（objectlanguage，即被談論的語言）；語言2是語言1的後設語言（metalanguage，即用來談論對象語言的語言）。

如此這般，每當我們想要說某個語言1裡的句子為真的時候，我們就使用語言2裡的真述詞「在語言1裡為真」來表達。所以，在這樣的語言系統裡，我們不會找到像是說謊者悖論「這個句子不為真」這樣的句子。相對的，我們只會有這樣的句子：

這個句子在語言1裡不為真。

這個句子本身是一個語言2裡的句子，因為它包含了只有在語言2裡才有的述詞「在語言1裡不為真」。所以我們可以很簡單而且沒有矛盾地斷定這個句子是假的，因為它宣稱自己「在語言1裡不為真」，而它根本不在語言1裡。


雖然語言2可以談論語言1裡的句子為真或不為真，但是這樣並沒有完全補償真述詞的喪失。因為就如同我們會想說「『雪是白的』為真」這句話為真一樣，我們也會想說「『雪是白的』在語言1裡為真」這句話為真，可是我們沒辦法這樣說，因為「『雪是白的』在語言1裡為真」這句話是語言2裡的句子，而語言2並不包含可以談論語言2自己的句子的真假的述詞。

「沒關係，」塔斯基會這樣說。因為我們還可以有語言3，語言3裡包含了所有語言2可以表達的句子，再加上「在語言2裡為真」和「在語言2裡為假」這兩個述詞。

於是，當我們認為「『雪是白的』在語言1裡為真」這句話是正確的的時候，我們就可以這樣說：

「『雪是白的』在語言1裡為真」在語言2裡為真。

而語言3的存在也不會導致說謊者悖論，因為我們還是不會有「這個句子不為真」這樣的句子。我們頂多只有「這個句子在語言2裡不為真」這樣的句子。而這樣的句子顯然不為真，因為它宣稱自己「在語言2裡不為真」，而它根本不在語言2裡，而是在語言3裡。

而雖然語言3不包含「在語言3裡為真」、「在語言3裡不為真」這樣的述詞，不過當我們想要談論語言3裡的句子的真假時，我們可以借助包含這樣的述詞的語言4…

這就是塔斯基所說的語言的階層（hierarchy of language）。雖然每個語言本身都無法談論自己的句子以及比自己更高階的語言的句子的真假值，不過除了一階語言之外，每一個語言都包含所有比它自己低階的語言所能表達的所有句子，以及比它低一個階層的語言的真述詞。所以，對於任何一個語言裡的任何一個句子，我們都可以用另一個更高階語言裡的句子來談論它的真假值。

但是，即使我們有一個區分階層的語言系統，要用它來取代自然語言，還是會有很大的問題。

語言的階層在自然語言上的應用困難

如果我們要使用一個區分階層的語言系統，我們就得遵守這個語言系統的規定，就像遵守文法一樣。就如同當主詞是第三人稱的時候我們不能用「am」當動詞；當「雪是白的」是一個一階語句的時候，我們也不能用「『雪是白的』在二階語言裡為真」來表達我們對於「『雪是白的』為真」的信念。所以，如果我們要使用一個區分階層的語言系統，在描述某一個句子為真或為假的時候，我們必須知道這個句子的階層，然後用一個屬於更高階語言的句子來說它。

但是在日常生活中我們並不是時時刻刻都知道那些我們打算談論它的真假值的句子是屬於幾階的語言。

比方說，即使我們並不是真的知道老皮說過哪些話，但如果我們對老皮的智慧和誠實都很有信心，我們很可能會想說：

所有老皮說的話都是真的。

但是我們並不知道老皮說的話是不是都屬於一階語言或者都屬於二階語言，所以我們不能用二階（或更高階）語言這樣說：

所有老皮說的話都在一階語言中為真。

我們也不能用三階（或更高階）語言這樣說：

所有老皮說的話都在二階語言中為真。

我們甚至不能確定老皮說的話是不是都屬於1到100階語言之間，所以我們也不能用101階（或更高階）語言這樣說

所有老皮說的話都在1或2或3或…或100階語言中為真。

在我們的溝通生活中，的確有在並不確定某個人說的所有的話的內容的情況之下表達這個人說的話都為真的需求。而如果我們所使用的是一個區分階層的語言系統，這樣的需求便無法被滿足。

這還不是最糟糕的地方，畢竟，在上面的例子裡，只要我們真的掌握老皮所說的每一句話和它們的階層，我們就會知道該用哪一個階層（以上）的語言來表達「老皮說的每一句話都是真的」這個想法。事實上存在有更慘的情況是，有時候我們甚至「不可能」賦予某些句子階層。

想像下面這個情況：

馬蓋先：所有老皮說的話都是真的。
老皮：沒錯（That’s true）！

如果馬蓋先和老皮都使用區分階層的語言系統，他們該怎麼表達上面那個對話？
我們知道「所有老皮說的話都是真的。」談論的是所有老皮所說的話，所以「沒錯！」會是它談論的對象語言之一。而且「所有老皮說的話都是真的。」使用了真述詞來談論這些對象語言，所以「所有老皮說的話都是真的。」的階層一定得比「沒錯！」高。

可以反過來看，「沒錯！」談論的正是「所有老皮說的話都是真的。」為真的這件事，所以「沒錯！」的階層應該要比「所有老皮說的話都是真的。」高。

因為區分階層的語言系統要求每個後設語言的階層要比對象語言高，所以在這樣的語言系統裡，不可能存在有兩句話分別說對方為真。可是就像上述的例子，這樣的情形在自然語言中是非常普遍的。

事實上，與自然語言相比，區分階層的語言系統的不便之處是不勝枚舉。而由於人們不可避免地面臨那些區分階層的語言無法勝任的溝通工作，所以也就不可避免地必須使用自然語言，並不可避免地遇上悖論。

因此，塔斯基認為雖然我們在日常生活中必須使用自然語言這種沒救了的語意上封閉的語言，但是對於那些不需要太豐富的表達力的嚴謹的科學或是數學語言，區分階層的語言會是一個好的選擇。





參考資料
Theories of Truth - A Critical Introduction／Richard L. Kirkham／MIT