邏輯的單調性和Defeasible Reasoning

單調性（monotonicity）是邏輯系統的性質。形式上，它可以被表達成這樣︰

If Γ ⊢ φ and Γ ⊆ Δ then Δ ⊢ φ.

根據這個定義，一個邏輯系統是單調的（monotonic），若且唯若如果我們可以由這個系統的規則或公理從一組句子Γ推導出句子φ，那麼，對於任何一組句子Δ，只要Δ包含所有Γ所包含的句子（也就是說，Γ是Δ的子集合），我們就可以用這個系統的規則或公理，從Δ推導出句子φ。簡單地說，只要我們所使用的邏輯系統是monotonic，那麼，我們原來可以推導出來的那些句子，在前提增加之後，就會依然可以被推導出來。

古典邏輯是monotonic，這意味著前提的增加並不會使得本來可以被推導出來的句子因此無法被推導出來。考慮下面兩個論證︰

論證a
1. P→Q
2. P
3. Q〔1,2，MP〕

論證b
1. P→Q
2. P
3. ¬（P→Q）
4. ¬P
5. Q〔1,2，MP〕

論證a的有效結論「Q」在論證b裡並不會因為增加了兩個前提就因此而推導不出來。事實上，不管增加什麼其它的前提，只要我們有（P→Q）和P，就一定可以利用古典邏輯推導出Q。

好吧，你說，所以古典邏輯是邏輯系統是monotonic，在古典邏輯系統下，原來可以導出的句子在前提增加後也一定可以導出來，所以勒？那又怎樣？

有一些哲學家相信monotonicity是古典邏輯的短處。邏輯系統被造出來的目的，是為了要捕捉人們做推理時所依賴的規則。因此，最理想的狀況是，我們有一個邏輯系統，任何日常生活上ok的推論在這個系統裡都是ok的；日常生活中不ok的推論在這個系統裡也都是不ok的。而問題就在於，有很多日常生活中的推論，似乎沒有辦法被一個monotonic logic system捕捉，例如

論證c
1. 鳥會飛
2. 小丸是鳥
3. 小丸會飛

論證d
1. 鳥會飛
2. 小丸是鳥
3. 小丸的羽毛掉光了
4. 小丸會飛

論證c很ok，但是論證d不ok，然而，所有論證c擁有的前提，論證d也都擁有，也就是說，在一個monotonic logic system裡，如果論證c是有效論證，論證d也會是有效論證。同樣地，下面這組論證也含有如此的特徵︰

論證e
1. 我答應小丸晚上陪她吃飯
2. 我應該準時赴約

論證f
1. 我答應小丸晚上陪她吃飯
2. 晚上我出門時遇見了車禍，肇事者逃逸，傷者血流如注，附近沒有電話
3. 我應該準時赴約

這類「一旦前提增加，本來的有效結論可能會變得無效」的推論，被稱為Defeasible Reasoning（可誤的推論）。這些Defeasible Reasonins的存在，使得哲學家開始注意起monotonic system在這個方面的不足，並試著探索non-monotonic system的可能性。